Среди авторов исследования - исследователи М. Анхелес Серрано и Мариан Богунья с физического факультета и Института сложных систем UB (UBICS), а также Педро Альмарго из Высшей технической школы инженерии Университета Севильи. В исследовании представлена многомерная гиперболическая модель сложных сетей, которая воспроизводит их связность со сверхнизкой и настраиваемой размерностью для каждой конкретной сети. Это позволяет лучше охарактеризовать его структуру - например, в масштабе сообщества - и улучшить его способность к прогнозированию.

Исследование выявляет неожиданные закономерности, такие как чрезвычайно низкие размеры молекулярных сетей, связанных с биологическими тканями; несколько более высокая размерность, требуемая социальными сетями и Интернетом; и открытие, что коннектомы мозга близки к трем измерениям в их автоматической организации.

Гиперболический против Евклидова геометрия

Внутренняя геометрия наборов данных или сложных сетей неочевидна, что становится препятствием при определении размерности реальных сетей. Другая проблема заключается в том, что определение расстояния должно быть установлено в соответствии с их структурой отношений и связности, а это также требует сложных моделей.

Теперь новый подход основан на геометрии сложных сетей, а более конкретно, на конфигурационной геометрической модели или S^D модель. "Эта модель, которую мы разработали в предыдущей работе, описывает структуру сложных сетей, основанных на фундаментальных принципах", - говорит лектор М. Анхелес, научный сотрудник ICREA на кафедре физики конденсированных сред Калифорнийского университета.

"Более конкретно, - продолжает он, - модель постулирует закон взаимосвязи элементов сети (или узлов), который является гравитационным, поэтому узлы, которые находятся ближе в пространстве подобия - сферической геометрии в D измерениях - и с большей популярностью - дополнительное измерение, соответствующее важности узла - с большей вероятностью установят связи."

В исследовании переменные сходства и популярности объединяются, чтобы создать гиперболическую геометрию модели, которая возникает как естественная геометрия, представляющая иерархическую архитектуру сложных сетей.

В предыдущих исследованиях команда применила простейшую версию одномерного S^D модель - S¹ модель - для объяснения многих типичных особенностей сетей реального мира: свойство малого мира (шесть степеней разделения), неоднородное распределение числа соседей на узел и высокие уровни переходных связей (треугольные соединения, которые можно проиллюстрировать выражением друг моего друга - тоже мой друг).

"Кроме того, применение методов статистического вывода позволяет нам получать реальные сетевые карты в гиперболическом плане, которые соответствуют установленной модели", - говорит она. "Помимо визуализации, эти представления использовались во множестве задач, включая эффективные методы навигации, обнаружение паттернов самоподобия, обнаружение сильно взаимодействующих сообществ узлов и реализацию процедуры перенормировки сети, которая выявляет скрытые симметрии в многомасштабной организации сложных сетей и позволяет производство сетевых копий в уменьшенных или увеличенных масштабах."

Теперь команда выводит размерность гиперболического пространства, лежащего в основе реальных сетей, из свойств, которые относятся к размерности их геометрии. В частности, в работе измеряется статистика циклов более высокого порядка (треугольники, квадраты, пятиугольники), связанных с соединениями.

Методология, применимая ко всем сложным сетям

В информатике применяемые методы основаны на данных, которые обычно определяют расстояние подобия между их элементами, подход, который включает в себя построение графиков, которые отображаются на скрытое пространство евклидовых объектов.

"Наши оценки размерности сложных сетей значительно ниже наших оценок, основанных на евклидовом пространстве, поскольку гиперболическое пространство лучше подходит для представления иерархической структуры реальных сложных сетей. Например, для Интернета требуется только отображение измерений D = 7 в гиперболическое пространство нашей модели, тогда как это имя умножается на шесть и масштабируется до D = 47 в одном из самых последних методов, использующих евклидово пространство", - говорит профессор Мариан Богуна.

Кроме того, методы отображения сложных данных обычно предполагают скрытое пространство с заранее определенным именем измерений или реализуют эвристические методы для поиска подходящего значения. Таким образом, новый метод основан на модели, которая не нуждается в пространственном отображении сети для определения размерности ее геометрии.

В области сетевой науки многие методологии используют кратчайшие расстояния для изучения структуры связности сети (кратчайших путей) как метрического пространства. Однако на эти расстояния сильно влияет свойство малого мира, и они не обеспечивают широкого диапазона значений расстояния.

"Наша модель использует совершенно другое определение расстояния, основанное на базовом гиперболическом пространстве, и нам не нужно отображать сеть. Наша методология применима к любой реальной сети или ряду данных со сложной структурой и размером, который обычно составляет тысячи или десятки тысяч узлов, но может достигать сотен тысяч за разумное вычислительное время", - говорит М. Анхелес Серрано.

Каково реальное измерение социальных сетей и Интернета?

Согласно результатам исследования, официальные сети и Интернет выше (от 6 до 9) по сравнению с сетями в других доменах. Однако он все еще очень низок - в 6-7 раз ниже - по сравнению с тем, что получается другими методами. Это отражает тот факт, что взаимодействия в этих системах более сложны и определяются большим разнообразием факторов.

С другой стороны, социальные сети, основанные на дружбе, находятся на вершине рейтинга размерности. "Это неожиданный результат, поскольку можно подумать, что дружба - это более свободный тип эмоциональных отношений, но наши результаты связаны с тем фактом, что гомофилия в человеческих взаимодействиях определяется множеством социологических факторов, таких как возраст, пол, социальный класс, убеждения, установки или интересы", - говорит М. Анхелес. Серрано.

В случае Интернета, несмотря на то, что это технологическая сеть, ее большая размерность отражает тот факт, что для автономной системы подключение не означает только доступ к системе, как можно было бы подумать на первый взгляд. Напротив, на формирование этих связей влияет множество различных факторов, и, как следствие, может присутствовать множество других отношений (например, поставщик-клиент, одноранговая связь, пиринг на основе обмена и т.д.).

"Что действительно удивительно, как для социальных сетей, так и для Интернета, так это то, что наша теоретическая основа, которая не использует никаких аннотаций о связях за пределами их существования, способна охватить эту многомерную реальность, которая не является явной в наших данных", - заключает команда, которая в настоящее время работает над построением гиперболической многомерной карты сложных сетей, которые согласуются с теоретической основой, установленной S^D модель.