Многочлены - это уравнения, включающие переменную, возведенную в степени, такие как многочлен второй степени: 1 + 4 x - 3 x ² = 0.

Уравнения являются фундаментальными как для математики, так и для естественных наук, где они имеют широкое применение, например, помогают описывать движение планет или писать компьютерные программы.

Однако общий метод решения полиномиальных уравнений "высшего порядка", где x возводится в степень пять или выше, исторически оказался труднодостижимым.

Теперь почетный профессор UNSW Норман Уайлдбергер раскрыл новый подход с использованием новых числовых последовательностей, изложенный в недавней публикации совместно с ученым-компьютерщиком доктором Дином Рубином.

"Наше решение вновь открывает ранее закрытую книгу в истории математики", - говорит профессор. - говорит Уайлдбергер.

Полиномиальная задача

Решения многочленов второй степени существуют с 1800 года до нашей эры, благодаря "методу завершения квадрата" вавилонян, который развился в квадратичную формулу, знакомую многим старшеклассникам по математике. Этот подход, использующий корни чисел, называемые "радикалами", позже был расширен для решения многочленов трех- и четырех степеней в 16 веке.

Затем, в 1832 году, французский математик Эварист Галуа показал, как математическая симметрия, лежащая в основе методов, используемых для решения многочленов низшего порядка, стала невозможной для многочленов пятой степени и выше. Поэтому, по его мнению, никакая общая формула не могла бы их решить.

С тех пор были разработаны приближенные решения для многочленов более высокой степени, которые широко используются в приложениях, но проф. Уайлдбергер говорит, что это не относится к чистой алгебре.

Радикальный отказ от нового метода

Проблема, по его словам, заключается в использовании в классической формуле третьего или четвертого корней, которые являются радикалами.

Радикалы обычно представляют собой иррациональные числа, которые представляют собой десятичные дроби, которые простираются до бесконечности без повторения и не могут быть записаны в виде простых дробей. Например, ответ на вопрос о корне в кубе из семи, ³√7 = 1,9129118... продолжается вечно.

Профессор. Уайлдбергер говорит, что это означает, что реальный ответ никогда не может быть полностью вычислен, потому что "вам потребуется бесконечный объем работы и жесткий диск размером больше Вселенной".

Итак, когда мы предполагаем, что ³√7 "существует" в формуле, мы предполагаем, что это бесконечное, нескончаемое десятичное число каким-то образом является завершенным объектом.

Вот почему, проф. Уайлдбергер говорит, что он "не верит в иррациональные числа".

Иррациональные числа, по его словам, основаны на неточном понятии бесконечности и приводят к логическим проблемам в математике.

Профессор. Неприятие Уайлдбергером радикалов вдохновило его на наиболее известный вклад в математику, рациональную тригонометрию и универсальную гиперболическую геометрию. Оба подхода основаны на математических функциях, таких как возведение в квадрат, сложение или умножение, а не на иррациональных числах, радикалах или функциях типа синуса и косинуса.

Его новый метод решения многочленов также избегает радикалов и иррациональных чисел, полагаясь вместо этого на специальные расширения многочленов, называемые "степенными рядами", которые могут содержать бесконечное число членов со степенями x.

Усекая степенной ряд, проф. Уайлдбергер говорит, что они смогли извлечь приблизительные численные ответы, чтобы проверить, работает ли метод.

"Одним из уравнений, которые мы протестировали, было знаменитое кубическое уравнение, использованное Уоллисом в 17 веке для демонстрации метода Ньютона. Наше решение сработало великолепно", - сказал он.

Новая геометрия для общего решения

Однако проф. Уайлдбергер говорит, что доказательство этого метода, в конечном счете, основано на математической логике.

Его метод использует новые последовательности чисел, которые представляют сложные геометрические соотношения. Эти последовательности относятся к комбинаторике, разделу математики, который имеет дело с числовыми моделями в наборах элементов.

Самая известная последовательность комбинаторики, называемая каталонскими числами, описывает количество способов, которыми вы можете разделить многоугольник, представляющий собой любую фигуру с тремя или более сторонами, на треугольники.

Числа имеют важное практическое применение, в том числе в компьютерных алгоритмах, проектировании структур данных и теории игр. Они даже появляются в биологии, где используются для подсчета возможных схем сворачивания молекул РНК. И они могут быть вычислены с помощью простого многочлена двух степеней.

"Считается, что каталонские числа тесно связаны с квадратным уравнением. Наше новшество заключается в идее, что если мы хотим решать уравнения более высокого порядка, нам следует искать более высокие аналоги каталонских чисел".

Профессор. Работа Уайлдбергера расширяет эти каталонские числа от одномерного массива до многомерного, основываясь на количестве способов, которыми многоугольник может быть разделен непересекающимися линиями.

"Мы нашли эти расширения и показали, как логически они приводят к общему решению полиномиальных уравнений.

"Это кардинальный пересмотр базовой главы по алгебре".

По его словам, даже квинтики - многочлены пятой степени - теперь имеют решения.

По его словам, помимо теоретического интереса, этот метод имеет практические перспективы для создания компьютерных программ, которые могут решать уравнения, используя алгебраические ряды, а не радикалы.

"Это основное вычисление для большей части прикладной математики, так что это возможность для улучшения алгоритмов в широком спектре областей".

Неизведанные грани Жеоды

Профессор Уайлдбергер говорит, что новый массив чисел, который он и доктор Рубайн назвали "Жеодой", также обладает огромным потенциалом для дальнейших исследований.

"Мы представляем этот принципиально новый набор чисел, Geode, который расширяет классические каталонские числа и, по-видимому, лежит в их основе.

"Мы ожидаем, что изучение этого нового массива жеод поднимет много новых вопросов и займет комбинаториков на долгие годы.

"На самом деле, есть так много других возможностей. Это только начало."